Tarea 3: Frequentist Inference II

CC6104: Statistical Thinking

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Índice:

  1. Objetivo
  2. Instrucciones
  3. Referencias
  4. Elaboración de Código

Objetivo

a la tercera tarea del curso Statistical Thinking. Esta tarea tiene como objetivo evaluar los contenidos teóricos de la segunda parte del curso, los cuales se enfocan principalmente en el diseño de experimentos, test de hipótesis y regresión lineal. Si aún no han visto las clases, se recomienda visitar los enlaces de las referencias.

La tarea consta de una parte teórica que busca evaluar conceptos vistos en clases. Seguido por una parte práctica con el fin de introducirlos a la programación en R enfocada en el análisis estadístico de datos.

Instrucciones:

Referencias:

Slides de las clases:

Enlaces a videos de las clases:

Elaboración de Código

En la siguiente sección deberá resolver cada uno de los experimentos computacionales a través de la programación en R. Para esto se le aconseja que cree funciones en R, ya que le facilitará la ejecución de gran parte de lo solicitado.

Para el desarrollo preste mucha atención en los enunciados, ya que se le solicitará la implementación de métodos sin uso de funciones predefinidas. Por otro lado, Las librerías permitidas para desarrollar de la tarea 3 son las siguientes:

# Manipulación de estructuras
library(tidyverse)
library(dplyr)
library(tidyr)

# Para realizar plots
library(scatterplot3d)
library(ggplot2)
library(plotly)

# Manipulación de varios plots en una imagen.
library(gridExtra)

Z-test

En clases se han visto diferentes tipos de test de hipótesis para demostrar una proposición sobre algún parámetro. Uno de los test vistos en clases es el Z-Test, el cual su distribución del test estadístico bajo la hipótesis nula se puede aproximar a una Gaussina. Para la aplicación de este test, resaltan los siguientes puntos:

  • Cada uno de los puntos de la muestra deben ser independientes unos de otros.
  • Al utilizar una distribución normal en la hipótesis nula, este test debería utilizarse cuando se tiene un número considerable de observaciones, ya que la sampling distribution de la media tiende a una gaussiana, de lo contrario se debería usar un T-test.

Para calcular la significancia estadística al igual que con otros métodos esta se debe calcular como:

  • Menor/Cola-Izquierda (one-tailed): La Hipótesis Nula H0: \(\mu \geq \mu0\) vs Hipótesis Alternativa H1: \(\mu < \mu0\).
  • Superior/Cola-Derecha (one-tailed): La Hipótesis Nula H0: \(\mu \leq \mu0\) vs Hipótesis Alternativa H1: \(\mu > \mu0\).
  • Dos-Colas/Two-tailed: Hipótesis Nula H0: \(\mu = \mu0\) vs Hipótesis Alternativa H1: \(\mu \neq \mu0\).

Luego, dependiendo del objetivo del test tenemos las metodologías one-sample y two-sample. Utilizaremos One-Sample cuando nuestro objetivo es comparar la media de una muestra con la media de la población. El Z-score del One-Sample se define como:

\[Z-score_{One-Sample} = \dfrac{\bar x - \mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt n}}\] Donde \(\bar x\) es la media de la muestra, \(\mu\) es la media de la población, \(\sigma\) es la desviación estándar de la población y \(n\) es el tamaño de la muestra.

Por otro lado, se utiliza Two-Sample cuando queremos comparar la media de dos muestras. El Z-score de Two-Sample se define con la ecuación:

\[Z-score_{Two-Sample} = \dfrac{(\bar x_2 - \bar x_1) - (\mu_1 - \mu_2)}{\dfrac{\sigma_1}{\sqrt n_1}+\dfrac{\sigma_2}{\sqrt n_2}}\] Donde \((\bar x_2 - \bar x_1)\) es la diferencia de las medias de la muestra, \((\mu_1 - \mu_2)\) la diferencia de las medias de la población, \(\sigma_{1,2}\) la desviación estándar de la población y \(n_{1,2}\) el tamaño de las muestras.

Multiples Test

En la práctica aparece la necesidad de testear múltiples hipótesis (por ejemplo en biología se pueden utilizar múltiples grupos de control o querer estudiar múltiples resultados de un mismo experimento), de esta forma la primera idea es testear individualmente cada una de las hipótesis, el problema de este enfoque es que la probabilidad de que se obtenga al menos un resultado significante crece rápidamente (con un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\) y \(20\) test ya se alcanza una probabilidad de \(64\%\) de tener resultados significantes por azar).

Una forma de corregir los inconvenientes del método anterior es utilizar el método de Bonferroni correction quien propone cambiar \(\alpha\) por \(\alpha/m\) (donde \(m\) es la cantidad de test de hipotesis realizados), esto resulta que las probabilidades de rechazar por error se mantengan bajas. De esta forma los p-valores obtenidos en un test de hipótesis y al utilizar Bonferroni correction, quedan dados por el producto de un \(p-valor_{i}\) y la cantidad de test realizados: \(\text{p-valor}_{i}*m\).

Pregunta 1: “I´ve Got The Power!”

El objetivo de esta pregunta es programar la potencia de un test de hipótesis y observar como se comportan las la hipótesis nula v/s la alternativa para un Z-test. Con el desarrollo de este ejercicio, podrán visualizar las diferentes partes que conforman a un test de hipótesis, identificar que es el p-valor y evidenciar como varia la potencia de un test one-sample y two-sample al variar \(\alpha\).

Para recordar; sabemos que en estadística el concepto de potencia viene dado por:

\[Power = 1 - \beta\]

Donde \(\beta\) es la probabilidad de obtener un error de tipo II. Con esto, la potencia estadística viene a representar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa. O sea, la potencia de una prueba es la probabilidad de encontrar un resultado positivo dado que este existe. Una de las formas de representar la potencia de un test es a través del siguiente gráfico:

study

Del gráfico, es posible visualizar que a medida que aumenta la diferencia en la media de la población, se obtienen mayores valores de potencia estadística.

Recordada que es la potencia de un test de hipótesis, a continuación, usted deberá programar una función que sea capaz de obtener la potencia de un Z-test one-sample y two-sample. Para esto por favor considere los siguientes puntos:

  • Crear una función que posea los siguientes argumentos:
    function(n1=NULL, sigma1=0.5, 
    n2=NULL,sigma2=0.5, mu.Ha=0 , 
    mu.True=0, alfa=0.05)

De los argumentos, tendremos que: \(n1\) representa la cantidad de datos para la muestra 1, \(sigma1\) es la desviación estándar de la muestra 1, \(n2\) la cantidad de datos para la muestra 2, \(sigma2\) la desviación estándar para la muestra 2, \(mu.Ha\) el mu del test de hipótesis y \(mu.True\) la media de la población real. Notar que la presencia de una segunda muestra solo es para el caso two-sample, para el caso one-sample el argumento de entrada \(n2\) debería ser nulo.

  • La función creada debe ser capaz de calcular el Z-test con el método One-sided (utilice solo la cola superior de la alternativa one-sided). Notar que la función al recibir un argumento nulo en \(n2\) debería asumir que se trata de un test one-sample automáticamente.
  • Al recibir un valor no nulo para \(n2\), \(mu.Ha\) representará la diferencia entre las medias de las muestras y \(mu.True\) la diferencia de las medias de la población de las muestras 1 y 2.
  • La salida de la función deberá retornar la potencia del test y un plot de las gaussianas que conforman el test de hipótesis. Para el caso del plot, observe los ejemplos de plot dispuestos más abajo.
  • Si utiliza el esqueleto propuesto, complete y comente que realiza cada una de las partes de la función one-sample entregada.

Codificada la función realice los siguientes experimentos:

  • Obtener el gráfico de potencia al variar la media poblacional para los siguientes argumentos de entrada:

\[ n1=16, sigma1=16, mu.Ha=100 , mu.True=Variar, alfa=0.05 \] \[ n1=16, sigma1=16, mu.Ha=100 , mu.True= Variar, alfa=0.01 \] \[ n1=16, sigma1=16, mu.Ha=100 , mu.True= Variar, alfa=0.1 \]

Se le recomienda que la variación se realice a través de un for y grafique las curvas dentro de un mismo gráfico para observar potenciales diferencias entre ellas.

  • Diseñe un experimento one-sample y visualice cómo se comportan las distribuciones normales de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa al variar \(\alpha\).

  • Diseñe un experimento Two-sample y visualice cómo se comportan las distribuciones normales de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa al variar \(\alpha\).

Para el diseño de experimentos y/o comprobación de sus métodos puede serles útiles (no hay problema si decide utilizar los mismos ejemplos):

Respuesta

# Power Function, El esqueleto posee como ejemplo como obtener la potencia de un z-test one-sample.
# Si utiliza este esqueleto deberá comentar la función que cumple cada una de las partes entregadas
power.z.test <- function(n1=NULL, sigma1=0.5, 
                         n2=NULL,sigma2=0.5, mu.Ha=0 , 
                         mu.True=0, alfa=0.05){
  if(){
    # 
    Z = qnorm(1-alfa)
    
    denominador = sigma1/sqrt(n1)
    X_bar = Z*denominador + mu.Ha
    
    numerador = X_bar - mu.True
    Z = numerador/denominador
    Power = 1 - pnorm(Z)
    
    # 
    min_lim = min(rnorm(1000, mean=mu.Ha, sd=denominador)) - 
      round(min(rnorm(1000, mean=mu.Ha, sd=denominador)))%%10
    max_lim = max(rnorm(1000, mean=mu.True, sd=denominador)) +
      round(max(rnorm(1000, mean=mu.True, sd=denominador)))%%10
      
    # 
    plot <- ggplot(data.frame(x = c(min_lim, max_lim)), aes(x)) + 
      stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu.Ha, sd = denominador), 
                    col='red') +
      stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu.True, sd = denominador), 
                    col='blue') +
      stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu.True, sd = denominador), 
                    xlim = c(X_bar,max_lim), geom = "area", fill='red') + 
      geom_vline(xintercept = X_bar, linetype="dotted", size=1) +
      annotate(x=X_bar, y=+Inf,label="alpha", vjust=2, geom="label") +
      theme_minimal() +
      ggtitle("H0 vs Ha") +
      xlab(expression(bar(X))) + ylab("Density")
    }
  }
  
  if(){
    #
    
    # 
    if(plot.hypothesis){
      
      # 
      
      # 
      plot = ...
    }
  }
  
  # Como R no permite retornar dos salidas usamos una lista
  # Los resultados se llaman con $plot o $power
  return(list(plot=plot,power=Power))
}


# Plot de gráfico de potencia

# Experimentos

Pregunta 2: Z-test

Esta pregunta tiene como objetivo comprender como funciona un test de hipótesis y como deberíamos abordar la realización de múltiples test de hipótesis con datos reales.

La pregunta deberá ser desarrollada utilizando el dataset marketing_campaign.csv. Con esto, deberá programar un Z-test, con el cual estudiará a través de experimentos el Income de personas con los grados académicos Graduation, Master y PhD. Para realizar esto considere la elaboración de los siguientes puntos de forma secuencial:

  • Modificar el dataframe entregado generando un estructura apta para el test de hipótesis. Una estructura que se les aconseja utilizar son vectores con los valores que representan a los grados académicos Graduation, Master y PhD por separado.
Ejemplo de estructura

Por ejemplo para el caso de Graduation pueden generar estructuras de la siguiente forma:

ID Graduation
5524 58138
2174 46344
4141 71613
6182 26646
965 55635
… …

Donde los valores en la fila de Graduation representan los sueldos de las diferentes personas que conforman el dataset. Un punto importante a considerar es que los datos para los diferentes grados académicos poseen diferentes numero de datos (no se asusten por esto).

  • Programar el método Z-test con la metodología one sample y two sample, obteniendo los p-valores a través de las alternativas one-sided y two-sided. Para el caso de one-sided, cree una función capaz de obtener la cola menor y mayor de la gaussiana.

  • El calculo de las diferentes alternativas para calcular los p-valores deberá ser un argumento de su función, donde señalando ‘menor’,‘mayor’ (para los casos one-sided) y ‘two-sided’ deberá obtener el valor pertinente para cada caso.

  • Genere una función que permita realizar solo múltiples test del tipo two-sample y aplique bonferroni correction a los p-valores obtenidos. Notar que los múltiples test deberá realizar la comparación entre todos los elementos de entrada, por ejemplo si deseamos comparar los ingresos de Graduation, Master y PhD, se deberían comparar los ingresos de Graduation v/s Master, Graduation v/s PhD y Master y PhD

Codificada las funciones, realice los siguientes experimentos con su función de test de hipótesis:

  • Compruebe si la media de los ingresos para la variable Graduation es similar a 52000. Señale formalmente este experimento y obtenga los p-valores para las alternativas one-sided y two-sided.

  • Compruebe si la diferencia entre los ingresos de las personas con el grado académico Graduation es cercana a cero en relación a la recibida por los Master y PhD. Para este punto utilice la función que le permite realizar múltiples test del tipo two-sample.

Para los diferentes experimentos considere que la desviación estandar de la población para los diferentes income son los siguientes:

\[\sigma_{Graduation} = 28180\] \[\sigma_{Master} = 20160\] \[\sigma_{PhD} = 20615\]

Respuesta:

df = read.csv('marketing_campaign.csv', sep='\t')
head(df)
# Implementación de Z-test one-sided y two-sided
# Puede utilizar este esqueleto
z_test <- function(data1=NULL, sigma1=0.5, data2=NULL, sigma2=0.5, 
                   mu.Ha=0, test.type = c('one-sided','two-sided'),
                   verbose=TRUE){
  
  if(length(test.type)>=2){
    print("Por favor escoge un tipo de Test: ´one-sided´ o ´two-sided´ ")
    return()
  }
  else if(length(test.type)==1 && !(test.type %in% c('menor','mayor','two-sided'))){
    print("Por favor escoge un tipo de Test: ´menor´, ´mayor´ o ´two-sided´")
    return()
  }
  else if(is.null(data2)){
    
    # P-value
    if(test.type=='menor'){

    }
    else if(test.type=='mayor'){

    }
    else if(test.type=='two-sided'){

    }
    
    # Texto de Salida
    if(verbose){
      cat("\tOne-sample Z-Test:\n\nData analizada:",
                      deparse(substitute(data1)), "\nZ=", Z_score, 
                      "P-value=", p_value, "\n\n",sep=" ")
    }
    
    return(p_value)
    
  }
  else if(!is.null(data2)){
    # Hypothesis test
    
    # p-value
    if(test.type=='menor'){
      p_value = ...
    }
    else if(test.type=='mayor'){
      p_value = ...
    }
    else if(test.type=='two-sided'){
      p_value = ...
    }
    # Texto de Salida
    if(verbose){
      cat("\tTwo-sample Z-Test:\n\nData analizada:",
                      deparse(substitute(data1)),"y",
                      deparse(substitute(data2)), "\nZ=", 
                      Z_score, "P-value=", p_value, "\n\n",sep=" ")
    }
  
    return(p_value)
  }
}
z.test.multiple_testing <- function(){
}

Pregunta 3: Testeando multiples hipotesis y Bonferroni Correction

El objetivo de este problema es estudiar como realizar múltiples test de hipótesis simultáneamente. Para esto en primer lugar se estudiara el método “intuitivo”, donde veremos sus limitantes y se comparará con el método llamado Bonferroni correction, posteriormente se realizará un estudio practico con el dataset ratones.csv.

Un investigador se ha colocado en contacto con ustedes señalándoles que realiza diariamente test de hipótesis entre las muestras que toma día a día en su laboratorio. Con esto, al investigador le urge saber si realizar multiples test de hipótesis sin una corrección podría afectar la toma de decisiones. Para comprobar esto, les solicita comprobar matemáticamente como se comporta la probabilidad de obtener al menos un resultado significativos al azar de sus experimentos diarios. Para esto, les señala que la la probabilidad de obtener un experimento por azar puede ser simulado a través de los casos exitosos de una binomial (valores mayores a cero), donde el numero de observaciones son la cantidad de experimentos (\(m\)) y la probabilidad queda dada por \(\alpha\) del test.

A continuación, se entregan unas indicaciones mas especificas para desarrollar la pregunta:

  • Complete el código presentado a continuación que le permite calcular la probabilidad empírica de que obtenga al menos un resultado significativo para significancia \(\alpha\) y cantidad de experimentos \(m\) arbitrarios.
  • Se puede verificar que para un nivel de significancia \(\alpha\) y \(m\) experimentos independientes la probabilidad de que se tenga al menos un resultado significativo por azar es \[\mathbb{P}(\text{obtener al menos resultado significativo por azar})=1-(1-\alpha)^{m}\]
  • Considere \(\alpha = 0.05\), grafique la probabilidad empírica y real variando el valor de \(m\) ¿Se parecen sus resultados? ¿Que sucede cuando la cantidad de experimentos crece mucho? ¿Este comportamiento depende del valor de significancia \(\alpha\)? ¿Es útil este método para la realización de múltiples test de hipótesis?
  • Para solucionar los inconvenientes del método anterior es posible utilizar el método de Bonferroni correction, modifique su código anterior para verificar lo anterior ¿Mejoran los resultados? ¿cual podría ser un problema si es que \(m\) es muy grande?
  • Ejecute el siguiente código que calcula el \(p\)-valor usual y el \(p\)-valor asociado a Bonferroni (que corresponde al \(p\)-valor * m donde \(m\) es el numero de experimentos), ¿Cuantos valores que originalmente se hubieran aceptado fueron rechazados si \(\alpha = 0.05\)? ¿Que implica esto sobre el nivel de falsos negativos de este metodo?
data <- read.csv("ratones.csv",sep= ";", stringsAsFactors = T)
head(data)

Respuesta Aquí:

probEmpirica <- function(alpha,m){
  n <- 10000 # Cantidad de veces que se va a repetir el experimento para estimar la probabilidad, pueden cambiar este valor si lo desean
  

  res <-... #Resultados de los experimentos
  
  # Puede agergar todo el codigo que estime conveniente para calcular la probabilidad empirica
  ...
  ...
  #
  prob <-... # Probabilidad empirica
  
  return(prob)
  
}

Pregunta 4: Regression Lineal sin comandos.

El objetivo de la siguiente pregunta es aplicar los conceptos de regresión lineal vistos en clases para implementar desde cero un función capaz de realizar una regresión simple y múltiple.

Para este problema, ustedes deberán estudiar el comportamiento de los clientes de un holding de salud. Para esto, se les hace entrega del dataset insurance.csv para que estudien la creación de un modelo lineal con sus datos. Antes de comenzar a trabajar, se señalan las diferentes variables que componen al dataset:

  • age: Señala la edad de cada uno de los sujetos.
  • sex: Si es mujer es igual a 1, si es hombre es igual a 0.
  • bmi: Indice de masa corporal del cliente.
  • children: Señala cuantos hijos tiene cada uno de los sujetos.
  • smoker: Variable binaria que cuando es 1 señala que el cliente es fumador (0 en caso contrario).
  • charges: Gastos médicos de cada uno de los clientes.

Es importante que considere que cada una de las filas representa un cliente distinto para el holding.

Dentro del estudio, el holding de salud le solicita estudiar los comportamientos de los clientes fumadores y no fumadores, por lo que se le aconseja separar el dataframe original en fumadores y no fumadores. En el estudio, realicen un modelo lineal que tiene como variable de respuesta a charges y los datos que mejor se correlacionan para los clientes fumadores y no fumadores. Para esto, deberán realizar las siguientes actividades:

Parte I

  1. Programe un modelo lineal simple escogiendo la variable numérica que tiene mayor relación con la variable de respuesta. Recuerde justificar la elección de la variable numérica cuantitativamente.
  2. Señale tanto el \(R^2\) como el \(R^2-adjustado\) del modelo.
  3. Grafique el scatterplot de los datos y la linea que ajusta a la regresión lineal obtenida.

Parte II

  1. Entrene un modelo lineal multivariable escogiendo dos variables numéricas que posean la mayor relación con charges.
  2. Estudie si el modelo multivariable posee mejor desempeño que el modelo simple y comente los resultados. ¿Es recomendable la utilización de los modelos creados para la predicción de nuevas entradas?. Para este análisis puede utilizar los valores de test de hipótesis entregados por el comando lm(), ya que esto le servirá para observar si la regresión lineal es significativa.

Nota: No esta permitido utilizar comandos que obtengan los valores solicitados directamente a menos que se le permita en la pregunta.

lm_reg <- function(X, Y){
  
  
}
 

A work by CC6104